Question

19．已知點(diǎn)$A（3，\sqrt{3}）$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）滿足$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，則滿足條件點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為$\sqrt{3}$，$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|\overrightarrow{OA}|}}$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，直接由三角形的面積公式求平面區(qū)域的面積，然后令z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|\overrightarrow{OA}|}}$，運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算和模的公式化簡(jiǎn)，再由線性規(guī)劃知識(shí)求其最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$作差可行域如圖，

由圖可知，B（-2，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，$\sqrt{3}$），
則平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB及其內(nèi)部區(qū)域，面積為$S=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
令z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|\overrightarrow{OA}|}}$=$\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y$，
化為直線方程的斜截式得：$y=-\sqrt{3}x+2z$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\sqrt{3}x+2z$過(guò)A（1，$\sqrt{3}$）時(shí)直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．