【題目】已知定義在R上的函數f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在實數x使f(x)<2成立.
(1)求不等式f(x)>8的解;
(2)若α,β≥1,f(α)+f(β)=4,求證:.
【答案】(1) {x|x或x};(2)證明見解析
【解析】
(1)由絕對值三角不等式可得|x﹣m|+|x|≥|m|,根據存在實數x使f(x)<2成立,求出實數m的值,然后解不等式f(x)>8即可.
(2)先由條件求出α+β=3,從而得到,再利用基本不等式求出最小值即可證明結論.
(1)因為|x﹣m|+|x|≥|(x﹣m)﹣x|=|m|,
所以由存在實數x使f(x)<2成立,可得|m|<2,
所以﹣2<m<2,因為m∈N*,所以m=1,
所以f(x)=|x﹣1|+|x|.
因為f(x)>8,所以或,
所以x或x,
所以不等式的解集為{x|x或x};
(2)因為α,β≥1,所以f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=4,則α+β=3,
所以3,
當且僅當,即α=2,β=1時取等號,
所以.
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【題目】已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判斷直線l與圓C的位置關系;
(2)設直線l與圓C交于A,B兩點,若直線l的傾斜角為120°,求弦AB的長.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】兩縣城和相距,現計劃在兩縣城外位于線段上選擇一點建造一個兩縣城的公共垃圾處理廠,已知垃圾處理廠對城市的影響度與所選地點到城市的的距離關系最大,其他因素影響較小暫時不考慮,垃圾處理廠對城和城的總影響度為對城與城的影響度之和. 記點到城的距離為,建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為,統(tǒng)計調查表明:垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比,比例系數2.7;垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比,比例系數為 ;且當垃圾處理廠與城距離為時對城和城的總影響度為0.029.
(1) 將表示成的函數;
(2) 討論⑴中函數的單調性,并判斷在線段上是否存在一點,使建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最。咳舸嬖,求出該點到城的距離;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設、是兩個不同的平面,、是兩條不同的直線,有下列命題:
①如果,,,那么;
②如果,,那么;
③如果,,那么;
④如果平面內有不共線的三點到平面的距離相等,那么;
其中正確的命題是( )
A.①②B.②③C.②④D.②③④
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【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點,拋物線在點A的切線與交于點N,求面積的最小值.
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