Question

如圖1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=

1

2

AB=2，點E為AC的中點，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直（如圖2），在圖2所示的幾何體D-ABC中．
（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）點F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F-BCE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意知，AC=BC=2

2

，從而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中點E，連接DE，則DE⊥AC，從而ED⊥平面ABC，由此能證明BC⊥平面ACD．
（2）取DC中點F，連結(jié)EF，BF，則EF∥AD，三棱錐F-BCE的高h(yuǎn)=

1

2

BC，S_△BCE=

1

2

S_△ACD，由此能求出三棱錐F-BCE的體積．

解答： （1）證明：在圖1中，由題意知，AC=BC=2

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
取AC中點E，連接DE，則DE⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DE?平面ACD，
從而ED⊥平面ABC，
∴ED⊥BC
又AC⊥BC，AC∩ED=E，
∴BC⊥平面ACD．
（2）解：取DC中點F，連結(jié)EF，BF，
∵E是AC中點，∴EF∥AD，
又EF?平面BEF，AD?平面BEF，∴AD∥平面BEF，
由（1）知，BC為三棱錐B-ACD的高，
∵三棱錐F-BCE的高h(yuǎn)=

1

2

BC=

1

2

×2

2

=

2

，
S_△BCE=

1

2

S_△ACD=

1

2

×

1

2

×2×2=1，
所以三棱錐F-BCE的體積為：
V_F-BCE=

1

3

S△BCE•h=

1

3

×1×

2

=

2

3

．

點評：本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．