Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+4（a∈R是常數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為5．
（1）求a的值；
（2）k≤0，討論直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求出f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式求得曲線
y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，求出直線在y軸上的截距，由截距為5求得a的值；
（2）把（1）中求出的a值代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點(diǎn)與極值，根據(jù)x=0為極大值點(diǎn)，且極大值大于0，x=2為極小值點(diǎn)，且極小值等于0，可得k≤0時(shí)，直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+4，∴f′（x）=3x²+2ax，則f′（1）=3+2a，
又f（1）=5+a，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-5-a=（3+2a）（x-1），
取x=0得：y=2-a，
由2-a=5，得a=-3；

（2）f（x）=x³-3x²+4，f′（x）=3x²-6x，
當(dāng)x∈（-∞，0），（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)f（x）取得極大值為f（0）=4；當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)f（x）取得極小值為f（2）=0．
由當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞．
∴k≤0，直線y=kx與曲線y=f（x）只有1個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，是中高檔題．