Question

10．電影《功夫熊貓3》預(yù)計(jì)在2016年1月29日上映，某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜懊詫?duì)票價(jià)的看法，進(jìn)行了一次調(diào)研，得到了票價(jià)x（單位：元）與渴望觀影人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）的結(jié)果如表：

x（單位：元）	30	40	50	60
y（單位：萬(wàn)人）	4.5	4	3	2.5

（1）若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（2）請(qǐng)根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（3）根據(jù)（2）中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)票價(jià)定為多少元時(shí)，能獲得最大票房收入．
參考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overrightarrow{x}\overrightarrow{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{x}^{-2}}$，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{y}$-$\widehat$$\overrightarrow{x}$．

Answer 1

分析 （1）在坐標(biāo)系內(nèi)把對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出即得散點(diǎn)圖，由圖可得y與x之間是負(fù)相關(guān)；
（2）求出樣本點(diǎn)中心，利用回歸系數(shù)公式求出a，b，得出回歸方程；
（3）L=xy=（-0.05x+5.75）x=-0.05（x²-105x），利用配方法，可得結(jié)論．

解答 解：（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示：
∴y與x之間是負(fù)相關(guān)；
（2）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（30+40+50+60）=45，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（4.5+4+3+2.5）=3.5，
∴b=$\frac{30×4.5+40×4+50×3+60×2.5-4×45×3.5}{900+1600+2500+3600-4×4{5}^{2}}$=-0.05，
a=3.5+0.05×45=5.75．
因此回歸直線方程為y=-0.05x+5.75
（3）L=xy=（-0.05x+5.75）x=-0.05（x²-105x）=-0.05（x-72.5）²+625.3125．
∴x=72或73元時(shí)，能獲得最大票房收入．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解及回歸方程的運(yùn)用，屬于中檔題．