Question

5．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，CE=2BF=2AB=4，∠ABF=DCE=120°，G是AF中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面DCE；
（2）求證：BG⊥DF；
（3）若二面角E-DF-A的大小為150°，求線段DF的長．

Answer 1

分析 （1）在CE上取一點(diǎn)M，使CM=BF，連FM，推導(dǎo)出四邊形BCMF為平行四邊形，從而四邊形ADMF為平行四邊形，進(jìn)而AF∥DM，由此能證明AF∥平面DCE．
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CD的方向分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能證明BG⊥DF．
（3）求出平面ADF的一個(gè)法向量和平面EDF的一個(gè)法向量，利用向量法能求出線段DF的長．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（1）在CE上取一點(diǎn)M，使CM=BF，連FM，
∵BF∥CE，∴BF∥CM，
∴四邊形BCMF為平行四邊形，…（1分）
∴MF$\underset{∥}{=}$BC，∴MF$\underset{∥}{=}$AD，
∴四邊形ADMF為平行四邊形…（3分）
∴AF∥DM，
∵DM?平面DCE，AF?平面DCE，
∴AF∥平面DCE．…（4分）
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CD的方向分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD=a，
∵CE=2BF=2AB=4，∠ABF=DCE=120°，G是AF中點(diǎn)．
∴A（a，2，0），B（a，0，0），D（0，2，0），$E（{0，\;-2，\;2\sqrt{3}}），\;F（{a，\;-1，\;\sqrt{3}}），\;G（{a，\;\frac{1}{2}，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．…（6分）
∴$\overrightarrow{BG}=（{0，\;\frac{1}{2}，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\overrightarrow{DF}=（{a，\;-3，\;\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{DE}=（{0，\;-4，\;2\sqrt{3}}）$…（7分）
∵$\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{DF}=（{0，\;\frac{1}{2}，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）\;•（{a，\;-3，\;\sqrt{3}}）=0×a+\frac{1}{2}×（{-3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}=0$，
∴BG⊥DF…（8分）
解：（3）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC，
又∵BF⊥BC，AB，BF是平面ABF內(nèi)的兩條相交直線，∴BC⊥平面ABF，
∵BG?平面ABF，∴BG⊥BC，∴BG⊥AD，又BG⊥DF
∵AD，DF是平面ADF內(nèi)的兩條相交直線，∴BG⊥平面ADF…（9分）
∴$\overrightarrow{BG}=（{0，\;\frac{1}{2}，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$是平面ADF的一個(gè)法向量…（10分）
設(shè)平面EDF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}ax-3y+\sqrt{3}z=0\\-4y+2\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，令z=2a，則$y=\sqrt{3}a，\;x=\sqrt{3}$，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}a，2a$），…（11分）
∵二面角E-DF-A的大小為150°，∴|cos150°|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BG}|}$=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}a+\sqrt{3}a|}{\sqrt{3+3{a}^{2}+4{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$a=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
∴線段DF的長為$|\overrightarrow{DF}|=\sqrt{{a^2}+{{（{-3}）}^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．