Question

10．已知定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，且周期為$\frac{3}{2}$．當(dāng)$x∈[0，\frac{3}{4}]$時(shí)，$f（x）=\frac{a+sinπx}{{\sqrt{2}+cosπx}}-bx$（a、b∈R），則 f（1）+f（2）+…+f（100）的值為$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用給出的條件得出a=0，b的值，根據(jù)周期性和奇偶性得出（1）+f（2）+…+f（100）=f（1）=-f（$\frac{1}{2}$）即可．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵當(dāng)$x∈[0，\frac{3}{4}]$時(shí)，$f（x）=\frac{a+sinπx}{{\sqrt{2}+cosπx}}-bx$（a、b∈R），
∴a=0，
即當(dāng)$x∈[0，\frac{3}{4}]$時(shí)，f（x）=$\frac{sinπx}{\sqrt{2}+cosπx}$-bx（a、b∈R），
∵函數(shù)f（x）的周期為$\frac{3}{2}$，f（1）=f（$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
f（2）=f（$\frac{3}{2}$$+\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
f（3）=f（$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$）=f（0）=0
f（4）=f（3+1）=f（1）=f（-$\frac{1}{2}$），
…f（100）=f（99+1）=f（1）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），
∴f（1）+f（2）+…+f（100）=f（1）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{2}$，
∵定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，且周期為$\frac{3}{2}$，
∴f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$）=-1+$\frac{3b}{4}$，
f（-$\frac{3}{4}$）=f（$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$）=f（$\frac{3}{4}$）=1-$\frac{3b}{4}$，
∴-1$+\frac{3b}{4}$=1-$\frac{3b}{4}$，求解b=$\frac{4}{3}$
∴f（1）+f（2）+…+f（100）=f（1）=-f（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{2}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{2}{3}$，
故答案為：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)周期性運(yùn)奇偶性的運(yùn)用，整體運(yùn)用的思想，考查了邏輯推理變換的能力，屬于中檔題．