Question

12．過C：y²=8x拋物線上一點P（2，4）作傾斜角互補的兩條直線，分別與拋物線相交于A、B兩點，則直線AB的斜率是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． -$\frac{2}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 設(shè)出直線PA、PB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線AB的斜率為定值．

解答 證明：點P坐標(biāo)為（2，4），設(shè)B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
由已知設(shè)PB：m（y-4）=x-2，即：x=my-4m+2，
代入拋物線的方程得：y²=8my-32m+16，即y²-8my+32m-16=0，
則y₁+4=8m，故y₁=8m-4，
設(shè)PA：-m（y-4）=x-2，即x=-my+4m+2，
代入拋物線的方程得：y²=-8my+32m+16，即y²+8my-32m-16=0，
則：y₂+4=-8m，故y₂=-8m-4，
x₁-x₂=my₁-4m+2-（-my₂+4m+2）=m（y₁+y₂）-8m=-16m，
直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{16m}{-16m}$=-1，
所以直線BC的斜率為定值-1．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是拋物線的性質(zhì)，直線的斜率公式，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．