Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁與拋物線y²=-4$\sqrt{3}$x的焦點重合，過點F₁的直線l交橢圓于A，B兩點．當直線l經過橢圓C的一個短軸端點時，與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否在x軸上存在定點M，使$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$為定值？若存在，請求出定點M及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點坐標，可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，求得直線經過（-c，0）和（0，b）的方程，運用直線和圓相切的條件：d=r，結合離心率公式可得b，a，進而得到橢圓方程；
（2）假設直線l的斜率存在，設直線的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），代入橢圓方程x²+4y²=4，可得x的方程，運用韋達定理，設出M（m，0），運用向量的數量積的坐標表示，化簡整理，結合定值，可得m，以及向量數量積的值；再討論直線l的斜率不存在，求得A，B，驗證成立．

解答 解：（1）拋物線y²=-4$\sqrt{3}$x的焦點為（-$\sqrt{3}$，0），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
由直線l經過（-c，0）和（0，b），可得直線l：bx-cy+bc=0，
直線l與原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切，可得
$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=e=$\frac{bc}{a}$=$\frac{c}{a}$，解得b=1，則a=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）當直線l的斜率存在時，設直線的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），
代入橢圓方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
設M（m，0），$\overrightarrow{AM}$=（m-x₁，-y₁），$\overrightarrow{BM}$=（m-x₂，-y₂），
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$═（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁+$\sqrt{3}$）（x₂+$\sqrt{3}$）
=m²+（$\sqrt{3}$k²-m）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+3k²
=m²+（$\sqrt{3}$k²-m）（-$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）+（1+k²）•$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+3k²
=$\frac{（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11）{k}^{2}+{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
要使$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$為定值，則$\frac{4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11}{{m}^{2}-4}$=4，
解得m=-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，即有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=-$\frac{13}{64}$．
當直線l的斜率不存在時，A（-$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），B（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，-$\frac{1}{2}$），
可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=-$\frac{13}{64}$．
則在x軸上存在定點M（-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，0），使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$為定值-$\frac{13}{64}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率和直線和圓相切的條件：d=r，考查向量的數量積的坐標表示，注意運用直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．