Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F₁與拋物線y²=-4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)短軸端點(diǎn)時(shí)，與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否在x軸上存在定點(diǎn)M，使$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)M及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，求得直線經(jīng)過(guò)（-c，0）和（0，b）的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合離心率公式可得b，a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)直線的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），代入橢圓方程x²+4y²=4，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)出M（m，0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合定值，可得m，以及向量數(shù)量積的值；再討論直線l的斜率不存在，求得A，B，驗(yàn)證成立．

解答 解：（1）拋物線y²=-4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)為（-$\sqrt{3}$，0），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
由直線l經(jīng)過(guò)（-c，0）和（0，b），可得直線l：bx-cy+bc=0，
直線l與原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切，可得
$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=e=$\frac{bc}{a}$=$\frac{c}{a}$，解得b=1，則a=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），
代入橢圓方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)M（m，0），$\overrightarrow{AM}$=（m-x₁，-y₁），$\overrightarrow{BM}$=（m-x₂，-y₂），
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$═（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁+$\sqrt{3}$）（x₂+$\sqrt{3}$）
=m²+（$\sqrt{3}$k²-m）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+3k²
=m²+（$\sqrt{3}$k²-m）（-$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）+（1+k²）•$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+3k²
=$\frac{（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11）{k}^{2}+{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
要使$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$為定值，則$\frac{4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11}{{m}^{2}-4}$=4，
解得m=-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，即有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=-$\frac{13}{64}$．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A（-$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），B（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，-$\frac{1}{2}$），
可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=-$\frac{13}{64}$．
則在x軸上存在定點(diǎn)M（-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，0），使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$為定值-$\frac{13}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和直線和圓相切的條件：d=r，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．