Question

如圖，已知四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=

2

AB=2CF=2
（1）求證：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AE所在直線為z軸建立直角坐標(biāo)系，只要證明

EC

•

BD

=0，

EC

•

BF

=0，即可證明EC⊥平面BDF；
（2）由（1）知向量

EC

為平面BDF的法向量，設(shè)平面EBD的法向量為

n

=(x，y，z)，利用

n • BD =0 n • ED =0

，即可得出，再利用向量的夾角公式即可得出．

解答： （1）證明：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AE所在直線為z軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，

2

，0），D（-

2

，0，0），C（-

2

，

2

，0），F(xiàn)(-

2

，

2

，1)，E（0，0，2），
∴

BD

=(-

2

，-

2

，0)，

BF

=(-

2

，0，1)，

EC

=(-

2

，

2

，-2)，
從而有

EC

•

BD

=0，

EC

•

BF

=0，
∴EC⊥BD，EC⊥BF，
又∵BD∩BF=B，從而EC⊥面BDF．
（2）解：由（1）知向量

EC

為平面BDF的法向量，
設(shè)平面EBD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BD =0 n • ED =0

，即

- 2 x- 2 y=0 - 2 x-2z=0

；
令z=1得x=-

2

，y=

2

，
故 cos＜

n

，

EC

＞=

n • EC

| n |•| EC |

=

2

2 10

=

10

10

，
∴二面角E-BD-F的余弦值為

10

10

．

點(diǎn)評：本題考查了向量相互垂直與數(shù)量積的關(guān)系證明線面垂直、利用法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．