Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和是S_n，且點(diǎn)（a_n，2S_n）在函數(shù)y=x²+x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

2Sn

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（a_n，2S_n）在函數(shù)y=x²+x的圖象上，可得2S_n=a_n²+a_n，遞推得2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），兩式相減整理可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n+a_n-1≠0，可知a_n-a_n-1=1，符合等差數(shù)列的定義，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出b_n=

1

2Sn

=

1

n

-

1

n+1

，即可求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（a_n，2S_n）在函數(shù)y=x²+x的圖象上，
∴2S_n=a_n²+a_n，
∴2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2）．
兩式相減得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1．
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（常數(shù)）．
∴{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列．
又2S₁=a₁²+a₁，即a₁²-a₁=0，解得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）2S_n=n²+n，∴b_n=

1

2Sn

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)，涉及了等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，正確運(yùn)用裂項(xiàng)法是關(guān)鍵．