Question

6．如圖，正方形ABCD和直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，四邊形ADEG是平行四邊形，O為正方形ABCD的中心，AB=$\sqrt{2}$，EF∥BD，DE=EF=1，DE⊥BD．
（1）求證：CF∥平面OGE；
（2）求證：DF⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BOEF為平行四邊形，可得OE∥BF，通過證明平面BCF∥平面OGE，即可得證CF∥平面OGE．
（2）連接OF，由（1）可知ODEF為正方形，可得DF⊥OE，進而證明AC⊥平面BDEF，可得DF⊥AC，即可證明DF⊥平面ACE．

解答 證明：（1）∵EF∥BD，BD=2EF=2，O為正方形ABCD的中心，
∴EF∥OB，EF=OB，即BOEF為平行四邊形，
∴OE∥BF，
又∵OE?平面OGE，BF?平面OGE，
∴BF∥平面OGE，
∵BC∥AD∥GE，
∴BC∥平面OGE，
∵BC∩BF=B，
∴平面BCF∥平面OGE，
∴CF∥平面OGE．
（2）連接OF，由（1）可知ODEF為正方形，
∴DF⊥OE，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC．
又∵平面ABCD⊥平面BDEF，且平面ABCD∩平面BDEF=BD，
∴AC⊥平面BDEF，
∴DF⊥AC
又OE∩AC=O，
∴DF⊥平面ACE．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．