Question

14．已知函數(shù) f（x）=$\frac{a}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²（ a∈R，a≠0）．
（1）求 f （ x ）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng) x∈[0，1]時，經(jīng)過函數(shù) f （ x ）的圖象上任意一點的切線的傾斜角 θ 總在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）內(nèi)，試求實數(shù) a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求 f （ x ）的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過傾斜角 θ 總在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）內(nèi)，求出斜率的范圍，即可得到導(dǎo)函數(shù)的值域的范圍，然后求a的取值范圍．

解答 解：（1 ）f′（x）=ax（x+$\frac{1}{a}$），
當(dāng) a＞0時，f （ x ）的單調(diào)增區(qū)間為 （-∞，$\frac{1}{a}$）、（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為 （-$\frac{1}{a}$，0）；
當(dāng) a＜0時，f （ x ）的單調(diào)增區(qū)間為 （0，-$\frac{1}{a}$），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）、（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）根據(jù)題意，有-1≤f′（ x ）≤1，
即-1≤ax ²+x≤1，當(dāng) x=0時，a∈R；
將a 分離出來得當(dāng) x≠0時，a≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$且a≥$\frac{-1-x}{{x}^{2}}$
所以a≤（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$且a≥-（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}∈[1，+∞）$．
所以-2≤a≤0．又因為 a≠0，
所以-2≤a＜0．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的切線的斜率的范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查計算能力．