Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx+m有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（$\frac{7}{2}$，$\frac{15}{2}$-3ln3）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=x-4+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x+3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，從而求函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而可得f（1）=$\frac{1}{2}$-4+m=m-$\frac{7}{2}$＞0且f（3）=$\frac{9}{2}$-12+3ln3+m=m+3ln3-$\frac{15}{2}$＜0，從而解得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx+m，
∴f′（x）=x-4+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x+3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，3）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
f（1）=$\frac{1}{2}$-4+m=m-$\frac{7}{2}$，f（3）=$\frac{9}{2}$-12+3ln3+m=m+3ln3-$\frac{15}{2}$，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx+m有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$-4+m=m-$\frac{7}{2}$＞0且f（3）=$\frac{9}{2}$-12+3ln3+m=m+3ln3-$\frac{15}{2}$＜0，
∴$\frac{7}{2}$＜m＜$\frac{15}{2}$-3ln3；
故答案為：（$\frac{7}{2}$，$\frac{15}{2}$-3ln3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用．