Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=$\frac{f（x）+f（y）}{1+f（x）f（y）}$，且當(dāng)x＞0時，-1＜f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可證明；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=$\frac{2f（0）}{1+{f}^{2}（0）}$，∴f（0）=0，
令y=-x，則f（0）=$\frac{f（x）+f（-x）}{1+f（x）f（-x）}$=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
∵當(dāng)x＞0時，-1＜f（x）＜0
∴-1＜f（x₁-x₂）＜0，當(dāng)x＜0時，0＜f（x）＜1
∵f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1-f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
∴-1＜$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1-f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義是關(guān)鍵．