Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bc，且a=5．
（1）求△ABC的面積的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀；
（2）若tanB=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{CB}$=λ$\overrightarrow{CD}$（λ＞0），|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}bcsinA$便可得出A=90°，從而根據(jù)正弦定理可得到b=5sinB，c=5sinC，這便得出$S=\frac{25}{4}sin2B$，這樣即可求出△ABC的面積的最大值，并判斷出此時(shí)△ABC的形狀；
（2）根據(jù)$tanB=\frac{3}{4}，A=90°$便可得出b=3，c=4，從而$cosC=\frac{3}{5}$，在△ACD中，由余弦定理可得$\frac{32}{5}=9+C{D}^{2}-2•3•CD•\frac{3}{5}$，這樣便可解出CD，從而得出λ的值．

解答 解：（1）$S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}bcsinA$；
∴sinA=1，A=90°；
∴b=asinB=5sinB，c=asinC=5sinC；
∴$S=\frac{1}{2}•5sinB•5sinC=\frac{25}{2}sinBcosB$=$\frac{25}{4}sin2B$；
∴當(dāng)2B=90°，即B=45°時(shí)，${S}_{max}=\frac{25}{4}$，此時(shí)△ABC為等腰直角三角形；
（2）∵$tanB=\frac{3}{4}，A=90°$；
∴$\frac{c}=\frac{3}{4}$；
又b²+c²=25；
∴b=3，c=4；
∴$cosC=\frac{3}{5}$，AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC；
∴$\frac{32}{5}=9+C{D}^{2}-2•3•CD•\frac{3}{5}$；
解得CD=1，或$\frac{13}{5}$；
∴λ=5，或$λ=\frac{25}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形的面積公式：$S=\frac{1}{2}bcsinA$，已知三角函數(shù)值求角，三角函數(shù)的定義，以及二倍角的正弦公式，正弦定理和余弦定理，向量數(shù)乘的幾何意義．