Question

1．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，及整數(shù)k、T；
（1）若函數(shù)f（x）=2^xsin（πx），證明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=k•f（x），且f（x）=a^xφ（x）（其中a為正的常數(shù)），試證明：函數(shù)φ（x）為周期函數(shù)；
（3）若f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），且當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{10}x$（x²-9），記S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2），n∈N⁺，求使得S₁、S₂、S₃、…、S_n小于1000都成立的最大整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）代入計(jì)算即可證明．
（2）設(shè)k=a^T，a=k^-T．而φ（x）=a^-xf（x），可得φ（x+T）=φ（x），即可證明．
（3）取n=3k（k∈N^*），令S_n=R_k．則R_k=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k-10）+f（12k-6）+f（12k-2），又f（0）=0．而f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），可得f（6k）=0，而f（2）=-1，f（10）=2．可得：f（12（k+1）-10）+f（12（k+1）-2）=2[f（12k-10）+f（12k-2）]，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：f（x+2）=2^x+2sin（π（x+2））=4×2^xsin（πx）=4f（x），
∴f（x+2）=4f（x）．
（2）證明：設(shè)k=a^T，a=k^-T．而φ（x）=a^-xf（x），
∴φ（x+T）=a^-x-T•f（x+T）=a^-x-T•a^T•f（x）=a^-x•f（x）=φ（x），
∴φ（x）是以T為周期的周期函數(shù)．
（3）解：取n=3k（k∈N^*），令S_n=R_k．則R_k=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k-10）+f（12k-6）+f（12k-2），
又f（0）=0．而f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），
∴f（6k）=0，又R_k=f（2）+f（10）+…+f（2k-10）+f（12k-2），
而f（2）=-1，f（10）=$\sqrt{2}$f（4）=2f（-2）=2．
又f（12（k+1）-10）+f（12（k+1）-2）=2[f（12k-10）+f（12k-2）]，
∴數(shù)列{f（12k-10）+f（12k-2）}是以f（2）+f（10）=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴R_k=2^k-1，
由R_k＜1000，解得9＜k＜10，即n=28，29．
當(dāng)n=28時(shí)，f（110）＜0；n=29時(shí)，f（114）=0．
∴滿足條件的最大正整數(shù)n=29．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、函數(shù)的周期性、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．