Question

已知凼數(shù)F（x）為二次凼數(shù)，且F（x）的導(dǎo)凼數(shù)為f（x），若存在實數(shù)a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）＞0，則不等式F（2x-1）＞F（x）的解集為（　　）

• A、{x|x＜

  1

  3

  }
• B、{x|x＜

  1

  3

  或x＞1}
• C、{x|

  1

  3

  ＜x＜1}
• D、{x|x＜-1或x＞-

  1

  3

  }

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且a∈（-2，-1）時，f（-a）=-f（a）＞0，
求出F（x）的解析式，再把不等式F（2x-1）＞F（x）轉(zhuǎn)化為普通不等式，求出解集即可．

解答： 解：∵F（x）為二次函數(shù)，∴F（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）是一次函數(shù)；
不妨設(shè)f（x）=2kx+b，（k≠0）；
又存在實數(shù)a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）＞0，
∴2k（-a）+b=-（2ka+b），
∴b=0；
∴-2ka＞0，
∴ka＜0，
∴k＞0；
∴F（x）=kx²+c，（k＞0）；
∴不等式F（2x-1）＞F（x）可化為
k（2x-1）²+c＞kx²+c，
化簡得（2x-1）²＞x²，
即（3x-1）（x-1）＞0，
解得x＜

1

3

或x＞1；
∴該不等式的解集為{x|x＜

1

3

或x＞1}．
故選：B．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．