Question

14．以下四個命題中所有真命題的序號為①③．
①點A（1，2）關(guān)于直線y=x-1的對稱點的坐標(biāo)為（3，0）；
②已知正方體的棱長等于2，那么正方體外接球的半徑是2$\sqrt{3}$；
③圖1所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線A₁C₁與B₁C成60°的角；
④圖2所示的正方形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形是矩形．

Answer 1

分析 ①設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)垂直的條件和中點坐標(biāo)公式，列出方程組，求出實數(shù)解即可；
②根據(jù)正方體的對角線即為外接球的直徑，即可判斷；
③由異面直線所成的角的定義，先找（作）平行線，再解三角形，即可求得；
④根據(jù)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法：平行性質(zhì)不變，長度是與x軸平行的不變，與y軸平行的是原來的一半．即可畫出原圖形．

解答 解：①設(shè)點A（1，2）關(guān)于直線y=x-1的對稱點B的坐標(biāo)為（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m+1）-1=\frac{1}{2}（n+2）}\\{n-2=-（m-1）}\end{array}\right.$，解得，m=3，n=0，故①正確；
②已知正方體的棱長等于2，那么正方體外接球的直徑為2$\sqrt{3}$，故半徑是$\sqrt{3}$，即③錯；
③正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可得A₁D∥B₁C，∠C₁A₁D為異面直線A₁C₁與B₁C成的角，在等邊△A₁DC₁中，∠C1A₁D=60°，
故異面直線A₁C₁與B₁C成60°的角，即③正確；
④由水平放置的一個平面圖形的直觀圖的畫法，得到原圖形為平行四邊形，如圖，故④錯．
故答案為：①③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了點關(guān)于直線的對稱點的求法、正方體與其外接球的關(guān)系，以及空間異面直線所成的角和水平放置的平面圖的直觀圖的畫法，掌握這些基礎(chǔ)知識是迅速解題的關(guān)鍵，是中檔題．