5.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{(y-1)(3x+y-6)≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D,已知點O(0,0),A(1,0),點M是D上的動點,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=λ|$\overrightarrow{OM}$|,則λ的取值范圍是[$\frac{\sqrt{82}}{82}$,1]∪[-1,$-\frac{\sqrt{10}}{10}$).

分析 由條件便可得到$λ=cos<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}>$,從而求向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}$的夾角的范圍便可得出λ的范圍,可以找出平面區(qū)域D,結(jié)合圖形即可找出向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}$的范圍,從而得出$cos<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}>$的范圍,即得出λ的取值范圍.

解答 解:根據(jù)條件,$|\overrightarrow{OA}|=1$,$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|cos<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}>$=$|\overrightarrow{OM}|cos<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}>=λ|\overrightarrow{OM}|$;
∴$λ=cos<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}>$;
由$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{(y-1)(3x+y-6)≤0}\end{array}\right.$得,$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{y-1≥0}\\{3x+y-6≤0}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{y-1≤0}\\{3x+y-6≥0}\end{array}\right.$;
∴平面區(qū)域D如下圖所示:

設(shè)直線8x-4=0和直線3x+y-6=0的交點為B($\frac{1}{2},\frac{9}{2}$);
設(shè)OB的傾斜角為θ1,直線3x+y-6=0的傾斜角為θ2,則向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}$夾角的范圍為[0,θ1]∪(θ2,π];
$cos{θ}_{1}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{81}{4}}}=\frac{\sqrt{82}}{82}$,tanθ2=-3,∴$cos{θ}_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$;
∴$cos<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}>$$∈[\frac{\sqrt{82}}{82},1]∪[-1,-\frac{\sqrt{10}}{10})$;
∴λ的取值范圍為[$\frac{\sqrt{82}}{82},1$]∪[-1,$-\frac{\sqrt{10}}{10}$).
故答案為:[$\frac{\sqrt{82}}{82},1$]∪[-1,$-\frac{\sqrt{10}}{10}$).

點評 考查線性規(guī)劃的知識,能找出不等式組所表示的平面區(qū)域,向量數(shù)量積的計算公式,向量夾角的概念,以及數(shù)形結(jié)合解題的方法.

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