Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過直線l：x-y+1=0與y軸的交點(diǎn)A．
（1）若橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直線l被橢圓C所截得的弦的長度；
（2）若橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，求其離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x-y+1=0，令x=0，解得y=1．可得直線l：x-y+1=0與y軸的交點(diǎn)A（0，1）．可得b=1，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．設(shè)直線l被橢圓C所截得的弦為AB，直線方程與橢圓方程聯(lián)立解出交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．
（2）設(shè)與直線l：x-y+1=0垂直的直線m：y=-x+t，與橢圓相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+b²）x²-2a²tx+a²t²-a²b²=0，由于直線m與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，可得△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：x₀，y₀．代入直線l的方程可得：t=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$．代入△＞0，b=1，化為：a²＞3．利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$即可得出．

解答 解：（1）由x-y+1=0，令x=0，解得y=1．
∴直線l：x-y+1=0與y軸的交點(diǎn)A（0，1）．
∴b=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1，a²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
設(shè)直線l被橢圓C所截得的弦為AB，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：3x²+4x=0，
解得x=0或$-\frac{4}{3}$，
可得A（0，1），B$（-\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}）$．
∴|AB|=$\sqrt{（0+\frac{4}{3}）^{2}+（1+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（2）設(shè)與直線l：x-y+1=0垂直的直線m：y=-x+t，與橢圓相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+b²）x²-2a²tx+a²t²-a²b²=0，
∵直線m與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，
∴△=4a⁴t²-4（a²+b²）（a²t²-a²b²）＞0，
化為：t²＜a²+b²．
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}t}{{a}^{2}+^{2}}$=2x₀，
解得x₀=$\frac{{a}^{2}t}{{a}^{2}+^{2}}$．∴y₀=-x₀+t=$\frac{^{2}t}{{a}^{2}+^{2}}$．
代入直線l的方程可得：$\frac{{a}^{2}t}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{^{2}t}{{a}^{2}+^{2}}$+1=0．
化為：t=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$．
代入△＞0，可得：$（\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}-{a}^{2}}）^{2}$＜a²+b²，
已知b=1，
化為：a²＞3．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}＜e＜1$．
∴離心率e的取值范圍是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、對(duì)稱性問題、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．