Question

10．已知函數(shù)f（x）=tan（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的定義域和單調(diào)區(qū)間．
（3）求方程f（x）=$\sqrt{3}$的解集．

Answer 1

分析 由條件利用正切函數(shù)的周期性、定義域、單調(diào)性，求得函數(shù)的周期、定義域和單調(diào)區(qū)間，解三角方程，求得方程f（x）=$\sqrt{3}$的解集．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=tan（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），它的周期等于 T=$\frac{π}{\frac{π}{2}}$=2．
（2）令$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，求得x≠2k+$\frac{1}{3}$，k∈Z，故函數(shù)的定義域為：
{x|x≠2k+$\frac{1}{3}$，k∈Z}；
令kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，求得2k-5＜x＜2k+$\frac{1}{3}$，
可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（2k-$\frac{5}{3}$，2k+$\frac{1}{3}$ ），k∈Z．
（3）由方程f（x）=tan（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，可得$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{3}$，
求得x=2k，故方程的解集為{x|x=2k，k∈Z}．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的周期性、定義域、單調(diào)性，解三角方程，屬于基礎題．