【題目】在四棱錐中，，，和都是邊長為2的等邊三角形，設(shè)在底面的射影為.

（1）求證：是中點；

（2）證明：；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析:（1）根據(jù)等邊三角形有，依題意有平面，故，由此可知為中點.（2）由平面可得，而，即，故平面，故.（3）以分別為軸建立空間直角坐標系，利用法向量計算二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：∵和都是等邊三角形，

∴，

又∵底面，

∴，

則點為的外心，又因為是直角三角形，

∴點為中點.

（2）證明：由（1）知，點在底面的射影為點，點為中點，

于是面，

∴，

∵在中，，，

∴，

又，∴，

從而即，

由，得面，

∴.

（3）以點為原點，以所在射線為軸 ，軸，軸建系如圖，

∵，則，，，，

，，，，，

設(shè)面的法向量為，則

，，得，，

取，得，，

故.

設(shè)面的法向量為，則

，，得，，

取，則，故，

于是，

由圖觀察知為鈍二面角，

所以該二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）對于任意，任意，總有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】社會公眾人物的言行一定程度上影響著年輕人的人生觀、價值觀.某媒體機構(gòu)為了解大學生對影視、歌星以及著名主持人方面的新聞(簡稱:“星聞”)的關(guān)注情況,隨機調(diào)查了某大學的位大學生,得到信息如下表:

(Ⅰ)從所抽取的人內(nèi)關(guān)注“星聞”的大學生中,再抽取三人做進一步調(diào)查,求這三人性別不全相同的概率；

(Ⅱ)是否有以上的把握認為“關(guān)注‘星聞’與性別有關(guān)”,并說明理由；

(Ⅲ)把以上的頻率視為概率,若從該大學隨機抽取位男大學生,設(shè)這人中關(guān)注“星聞”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

附: .

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下面給出四種說法：

①用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好；

②命題P：“x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；

③設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（0，1），若P（x＞1）=p則P（﹣1＜X＜0）= ﹣p

④回歸直線一定過樣本點的中心（ ）．

其中正確的說法有（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為 ．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程；

（Ⅱ）若曲線C經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2015高考天津，文20】已知函數(shù)

（I）求的單調(diào)區(qū)間;

（II）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數(shù),都有;

（III）若方程有兩個正實數(shù)根且,求證:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.

(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；

(ⅱ)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用(ⅰ)的結(jié)果，求E(X).

附： ≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）若曲線上點處的切線過點，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在上無零點，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點和的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點，若直線與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

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