Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為矩形，平面PCD丄平面ABCD，PC丄PD，PD=AD，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDE．
（2）求證DE丄平面PAC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則由中位線(xiàn)定理得出OE∥PC，故PC∥平面BDE；
（2）由面面垂直的性質(zhì)得出AD⊥平面PCD，得出PC⊥AD，又PC⊥PD，故而PC⊥平面PAD，于是PC⊥DE，又由三線(xiàn)合一得出DE⊥PA，故DE⊥平面PAC．

解答 解：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD是矩形，∴O是AC的中點(diǎn)，
∴OE是△PAC的中位線(xiàn)，
∴PC∥OE，又PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）∵平面PCD丄平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AD，
又PC⊥PD，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴PC⊥平面PAD，∵DE?平面PAD，
∴PC⊥DE，
∵PD=AD，E是PA中點(diǎn)，
∴DE⊥PA，又PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴DE⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面位置關(guān)系的判定，屬于中檔題，