Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足2S_n=4a_n-1．則數(shù)列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+3}{lo{g}_{2}{a}_{n+2}$}的前100項和為（　�。�

• A． $\frac{97}{100}$
• B． $\frac{98}{99}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{100}{101}$

Answer 1

分析 通過2S_n=4a_n-1與2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2）作差，進而可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{2}$、公比為2的等比數(shù)列，裂項可知$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+3}{lo{g}_{2}{a}_{n+2}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂項相消法計算即得結(jié)論．

解答 解：∵2S_n=4a_n-1，
∴2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2），
兩式相減得：2a_n=4a_n-4a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵2S₁=4a₁-1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{2}$、公比為2的等比數(shù)列，a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+3}{lo{g}_{2}{a}_{n+2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．