Question

3．集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集中，至少有兩個(gè)相鄰的自然數(shù)作為其元素的子集有多少個(gè)？（比如{1，3，4}和{2，3，4，5}都是這樣的子集，而{2，5，7，9}不是）

Answer 1

分析 考慮反面：任意兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值都不為1，以四個(gè)元素的子集為例，即可求得結(jié)果．

解答 解：考慮反面：任意兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值都不為1．
以四個(gè)元素的子集為例，不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜a₄，由于任意兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值都不為1，故
a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，a₄-a₃≥2，將a₂，a₃，a₄分別減去1，2，3，后，
這時(shí)，a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3是兩兩不等且至少相差1的4個(gè)正整數(shù)，
故 a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相當(dāng)于從1，2，3，4，…7中任意選出的4個(gè)，
故所有的取法種數(shù)是C₇⁴，
所以任意兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值都不為1的子集有C₉²+C₈³+C₇⁴+C₆⁵=133，
所以至少有兩個(gè)相鄰的自然數(shù)作為其元素的子集有2¹⁰-133=891個(gè)

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合及組合數(shù)公式的應(yīng)用，判斷a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相當(dāng)于從1，2，3，4，…7中任意選出的4個(gè)，是解題的關(guān)鍵．