Question

在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意給定的a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)且具有性質(zhì)：
①對任意a，b∈R，a*b=b*a
②對任意a∈R，a*0=a
③對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c
關(guān)于函數(shù)f（x）=e^x*e^-x的性質(zhì)，有如下說法：
（1）函數(shù)f（x）的最小值為3
（2）函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
（3）函數(shù)f′（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
其中正確說法的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：根據(jù)新定義的運算表示出f（x）的解析式，然后逐項研究函數(shù)的性質(zhì)即可作出判斷．

解答： 解：在（3）中，令c=0，則f（x）=e^x*e^-x=1+e^x+e^-x，
①f（x）=1+e^x+e^-x≥1+2=3，當且僅當e^x=e^-x，即x=0時取等號，
∴f（x）的最大值為3，故①正確；
②∵f（-x）=1+e^-x+e^x=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，故②正確；
③f'（x）=

e2x-1

ex

，
當x≤0時，f′（x）=

e2x-1

ex

≤0，
∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，故③錯誤．
故正確說法的個數(shù)是2，
故選C．

點評：本題是一個新定義運算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學們類比運算解決問題的能力．本題的關(guān)鍵是對f（x）的化簡．