Question

3．已知函數(shù)f（x）=xe^x．
（Ⅰ）討論函數(shù)g（x）=af（x）+e^x的單調(diào)性；
（Ⅱ）若直線y=x+2與曲線y=f（x）的交點的橫坐標為t，且t∈[m，m+1]，求整數(shù)m所有可能的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）原命題等價于方程xe^x=x+2在x∈[m，m+1]上有解，由于e^x＞0，原方程等價于e^x-$\frac{2}{x}$-1=0，令r（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=axe^x+e^x，∴g′（x）=（ax+a+1）e^x，
①a=0時，g′（x）=e^x，g′（x）＞0在R恒成立，
故函數(shù)g（x）在R遞增；
②a＞0時，x＞-$\frac{a+1}{a}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
x＜-$\frac{a+1}{a}$時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減；
③a＜0時，當x＞-$\frac{a+1}{a}$時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，
x＜-$\frac{a+1}{a}$時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，
綜上，a=0時，函數(shù)g（x）在R遞增，
a＞0時，函數(shù)g（x）在（-∞，-$\frac{a+1}{a}$）遞減，在（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）遞增，
a＜0時，函數(shù)g（x）在（-∞，-$\frac{a+1}{a}$）遞增，在（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）遞減；
（Ⅱ）由題意得，原命題等價于方程xe^x=x+2在x∈[m，m+1]上有解，
由于e^x＞0，故x=0不是方程的解，
故原方程等價于e^x-$\frac{2}{x}$-1=0，
令r（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，r′（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
故r（x）在（-∞，0）和（0，+∞）遞增，
又r（1）=e-3＜0，r（2）=e²-2＞0，r（-3）=e³-$\frac{1}{3}$＜0，r（-2）=e²＞0，
故直線y=x+2和曲線y=f（x）的交點有2個，
且兩交點的橫坐標分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]內(nèi)，
故整數(shù)m的所有值是-3，1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，考查轉化思想，是一道綜合題．