Question

15．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（sinωx，cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=1，b=$\sqrt{3}$，當(dāng)f（A）取得最大值時，求邊c．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式得出f（x）的解析式，利用三角恒等變換化簡，根據(jù)周期公式計算ω，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求出單調(diào)增區(qū)間；
（II）求出A，根據(jù)正弦定理計算B，從而得出C，在計算c即可．

解答 解：（I）f（x）=$\sqrt{3}$cosωxsinωx+cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期為π，ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（II）f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ即A=$\frac{π}{6}$+kπ時，f（A）取得最大值．
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即$\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$，
當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時，C=$\frac{π}{2}$，△ABC是直角三角形，不符合題意；
∴B=$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{π}{6}$．△ABC是等腰三角形，
∴c=a=1．

點評 本題考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形，屬于中檔題．