Question

已知O為原點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C：

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4）上任意兩點，向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

），若p，q的夾角為

π

2

且橢圓的離心率e=

3

2

，求△AOB的面積是否為定值？

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓方程結(jié)合橢圓的離心率求得m的值，再由

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

）且

p

•

q

=0得到
x1x2+

y1y2

4

=0，首先分析直線AB的斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫縱坐標的乘積，代入x1x2+

y1y2

4

=0得到直線AB的斜率和截距的關(guān)系，然后寫出△AOB的面積，最后結(jié)果不能把變量消掉，說明△AOB的面積不是定值．

解答： 解：由橢圓

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4），得b=2，
∵e=

c

a

=

3

2

，
∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，則a²=16，即m=16．
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

），
由

p

，

q

的夾角為

π

2

，得

p

•

q

=0，即x1x2+

y1y2

4

=0，
當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，
聯(lián)立

x2 16 + y2 4 =1 y=kx+m

，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-16

1+4k2

，
∴4x₁x₂+y₁y₂=4x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（4+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（4+k²）•

4m2-16

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m²=0，
化簡得17m²-16k²-64=0，
S△AOB=

1

2

|-

m

k

||y₁-y₂|
=

1

2

|m||x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|m|

256k2-16m2+64

1+4k2

=16|m|•

4m2-15

17m2-60

．不是定值．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，考查了計算能力，是壓軸題．