Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-a|（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求不等式f（x）＜1的解集
（Ⅱ）若a＜0，且不等式|f（x）|＜a²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間的方法，去絕對(duì)值，分別解不等式，再求并集即可；
（Ⅱ）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得|f（x）|的最大值2-a，令a²＞2-a，解不等式即可得到．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=|x-2|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≥4}\\{2x-6，2＜x＜4}\\{-2，x≤2}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）＜1即2＜1不成立；
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f（x）＜1即2x-6＜1，解得x＜$\frac{7}{2}$，即為2＜x＜$\frac{7}{2}$；
當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）＜1即-2＜1，即有x≤2，
綜上可得，解集為（2，$\frac{7}{2}$）∪（-∞，2]=（-∞，$\frac{7}{2}$）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-a|，（a＜0），
|f（x）|=||x-2|-|x-a||≤|（x-2）-（x-a）|=2-a，
即有f（x）的最大值為2-a，
不等式|f（x）|＜a²恒成立，即有a²＞2-a，
解得a＞1或a＜-2，又a＜0，
則a＜-2．
即有a的取值范圍是（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，主要考查分類討論的思想方法和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，注意恒成立思想方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．