Question

20．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁作一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若A恰好是F₁B的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可知，漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，則F₁A的方程為y-0=$\frac{a}$（x+c），代入漸近線方程y=$\frac{a}$x可得B的坐標(biāo)，由若A恰好是F₁B的中點(diǎn)，所以|OB|=c，即可求得離心率．

解答 解：由題意可知，漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則F₁A的方程為y-0=$\frac{a}$（x+c），代入漸近線方程y=$\frac{a}$x可得B的坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$），
因?yàn)槿鬉恰好是F₁B的中點(diǎn)，所以|OB|=c，
所以（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$）²+（$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$）²=c²，
所以b²=3a²，所以c²=a²+b²=4a²，
所以e=2
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．