已知
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[-
π
3
，
π
4
]．
（Ⅰ）求
a
•
b
及|
a
+
b
|
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|，求f（x）的最大值和最小值．
分析：（I）根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)表示與模的計(jì)算公式可得答案．
（II）由由（I）可得：f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|=2(cosx-
1
2
)2-
3
2
，設(shè)t=cosx，利用換元法可得
y=2(t-
1
2
)2-
3
2
，t∈[
2
2
，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：因?yàn)?span id="pytldkc" class="MathJye">
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
所以
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，
所以|
a
+
b
|=
|
a
|2+|
b
|2+2
a
•
b
=2|cosx|=2cosx，x∈[-
π
3
，
π
4
]．
（Ⅱ）由（I）可得：f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|
=cos2x-2cosx
=2cos2x-1-2cosx
=2(cosx-
1
2
)2-
3
2

∵x∈[-
π
3
，
π
4
]
∴cosx∈[
2
2
，1]，
設(shè)t=cosx，則t∈[
2
2
，1]，
所以y=2(t-
1
2
)2-
3
2
，
∴f(x)max=-1，f(x)min=-
2
．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算與向量求模公式，以及三角函數(shù)求值域的方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cos
3
x，sin
3
x），
b
=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
，且f（x）+f'（x）為偶函數(shù)．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知tgx=a，求
3sinx+sin3x3cosx+cos3x
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積．已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數(shù)y=cos3x在[0，
5π
6
]上的面積為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湛江模擬）已知函數(shù)f(x)=
3
sin3x+cos3x+a過(guò)點(diǎn)(
π
3
，0)．
（1）求a的值及函數(shù)y=f（x）的最小正周期；
（2）若β∈[0，
π
3
]且f(
β
3
)=2，求cos(β+
π
6
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•松江區(qū)模擬）（理）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積．已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數(shù)y=cos3x+1在[0，
5π
6
]上的面積為
5π+2
6
5π+2
6
．

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