Question

3．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃+a₄=16，S₇=63．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列性質(zhì)列出方程組求出首項與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂項求和法能證明T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃+a₄=16，S₇=63，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d+{a}_{1}+3d=16}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=63}\end{array}\right.$，
解得${a}_{{1}_{\;}}$=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和：
T_n=$\frac{3}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{3}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{3}{4n+6}$$＜\frac{1}{2}$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和小于$\frac{1}{2}$的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．