Question

15．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=8}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）化簡b_n=-n•2ⁿ，從而求${S_n}={2^{n+1}}-2-n•{2^{n+1}}$；從而解得．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
則有2（a₃+2）=（a₂+a₄），又a₂+a₄=20，
可得a₃=8，a₂+a₄=20，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=8}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{1}{2}}\\{{a}_{1}=32}\end{array}\right.$；
又∵數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，∴$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ；
（2）∵b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿlog${\;}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-2-2•2²-3•2³-…-n•2ⁿ，
2S_n=-2²-2•2³-…-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}={2^{n+1}}-2-n•{2^{n+1}}$；
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50，
∴2ⁿ⁺¹-2＞50，
∴2ⁿ⁺¹＞52，
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)求和的應(yīng)用．