Question

（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線l的方程為．請(qǐng)寫出點(diǎn)P到直線l的距離，并加以證明．

 

 

Answer 1

【答案】

解：點(diǎn)P到直線l的距離公式為．    ————3分

證法1：過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．若A = 0，則直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為，而，可知結(jié)論是成立的．                                         ————5分

若，則直線PH的斜率為，方程為，與直線l的方程聯(lián)立可得

      

解得，

                                                ————9分

據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得

．

                                          ————12分

證法2：若B = 0，則直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為

      ；

若，則直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為

；

若，，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作直線l于y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，設(shè)直線l的傾斜角為，則．

因?yàn)?，

     ，

所以，．綜上，．

證法３：過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．則直線PH的一個(gè)方向向量對(duì)應(yīng)于直線l的一個(gè)法向量，而直線l的一個(gè)法向量為，又線段PH的長(zhǎng)為d，所以

      或

設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則，可得

     

把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入直線l的方程得

     

整理得 ，解得．

證法４：過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．在直線l上任取一點(diǎn)Q，直線PH的一個(gè)方向向量為，據(jù)向量知識(shí)，向量在向量上的投影的絕對(duì)值恰好是線段PH的長(zhǎng)，因此

      

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521174201949872/SYS201205252119260621795325_DA.files/image034.png">，而點(diǎn)滿足，所以．因此．

 

【解析】略