已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(0，1)．

(Ⅰ)求此橢圓的方程；

(Ⅱ)已知定點E(－1，0)，直線y＝kx＋2與此橢圓交于C、D兩點．是否存在實數(shù)k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

 (Ⅰ)根據(jù)題意，，解得.

所以橢圓方程為＋y2＝1.(5分)

(Ⅱ)將y＝kx＋2代入橢圓方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，由直線與橢圓有兩個交點，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1.(7分)

設(shè)C(x1，y1)、D(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1·x2＝，

假設(shè)存在實數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過E點，則·＝0，

即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，(9分)

而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，所以

(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，

解得k＝，滿足k2>1.(11分)

所以存在k＝，使得以線段CD為直徑的圓過E點．(12分)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點為A(0,1)，離心率為，

過點B(0，－2)及左焦點F1的直線交橢圓于C，D兩點，右焦點設(shè)為F2.

(1)求橢圓的方程；

(2)求△CDF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷解析版） 題型：選擇題

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點。若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為    (             )

A、＋＝1    B、＋＝1           

C、＋＝1    D、＋＝1

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

設(shè)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為(   )

A．(－3，0)          B．(－4，0)          C．(－10，0)         D．(－5，0)

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江蘇省高二9月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

（本題滿分14分）

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左右頂點為，上下頂點為， 左右焦點為，若為等腰直角三角形（1）求橢圓的離心率（2）若的面積為6，求橢圓的方程

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江西省高二第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：選擇題

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.若＝2，則橢圓的離心率是（　�。�

Ａ．         Ｂ．              Ｃ.            Ｄ.

 

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