Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的任意一點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，的面積為4（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求拋物線的方程；

（2）若，連接并延長(zhǎng)交拋物線于，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，且為直角三角形，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由條件有，，則由的面積為4，可得出答案.
(2) ，，則,設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用三點(diǎn)共線結(jié)合韋達(dá)定理得出，為直角三角形，所以直線的斜率，所以，得.因?yàn)?/span>，所以，則點(diǎn)到直線的距離，，然后求其范圍即可.

（1）因?yàn)?/span>為拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以.

因?yàn)?/span>軸，所以，所以.

因?yàn)?/span>的面積為4，所以，且，所以，

故拋物線的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，，，則.

聯(lián)立，整理得.

因?yàn)?/span>，所以，.

設(shè)，則，.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，

所以.

所以.

因?yàn)?/span>，，所以.

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，

因?yàn)?/span>為直角三角形，所以，

所以直線的斜率，所以.

由，得.

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，

則點(diǎn)到直線的距離.

設(shè)，則，且，

故

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以.