Question

7．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n=2，3，…），數(shù)列{b_n}的通項為b_n=a_n+n²（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n=2，3，…）化簡$\frac{_{n+1}}{_{n}}$即得結(jié)論；
（2）通過a₁=1，計算可知數(shù)列{b_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，進而利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵b_n=a_n+n²（n∈N^*），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n=2，3，…），
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}+（n+1）^{2}}{{a}_{n}+{n}^{2}}$=$\frac{2{a}_{n}+（n+1）^{2}-4（n+1）+2+（n+1）^{2}}{{a}_{n}+{n}^{2}}$=2$\frac{{a}_{n}+（n+1）^{2}-2（n+1）+1}{{a}_{n}+{n}^{2}}$=2，
∴數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：∵a₁=1，
∴b₁=a₁+1²=2，
∴數(shù)列{b_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．