Question

17．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）的周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=|2^x-2|，若函數(shù)g（x）=f（x）-|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，則當(dāng)x∈[-2016，2016]，時(shí)，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1003
• B． 2016
• C． 4032
• D． 2017

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求出在一個(gè)周期內(nèi)的解析式，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）的周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=|2^x-2|，
∴當(dāng)x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
則f（-x）=|2^-x-2|=f（x），
即f（x）=|2^-x-2|，x∈[-2，0]，
由g（x）=f（x）-|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|=0，得f（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，
設(shè)h（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，
作出函數(shù)f（x）和h（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≤0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在[-2016，0]內(nèi)有1個(gè)交點(diǎn)，
在[0，4]內(nèi)兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x≥4時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)都有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)在[4，2016]內(nèi)有503×4=2012個(gè)交點(diǎn)，
則在[-2016，2016]上解的個(gè)數(shù)為2012+1+3=2016，
即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2016，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出一個(gè)周期的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．