Question

12．已知函數(shù)y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$的最大值為M，最小值為m，則$\frac{m}{M}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 化簡（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²=4+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$，從而求得4≤（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²≤8，從而求最值．

解答 解：函數(shù)y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$的定義域為[-3，1]；
∵（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²=1-x+x+3+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$
=4+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$，
而（1-x）（x+3）=-（x+1）²+4，
故0≤-（x+1）²+4≤4，
故0≤$\sqrt{（1-x）（x+3）}$≤2，
故4≤（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²≤8，
故2≤$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$≤2$\sqrt{2}$，
故$\frac{m}{M}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的最值的求法，同時考查了平方法的應(yīng)用．