Question

【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，對(duì)任意的，都有.數(shù)列各項(xiàng)都是正整數(shù)，，且數(shù)列是等比數(shù)列．

(1) 證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)求滿足的最小正整數(shù)n.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）5

【解析】

(1) 當(dāng)時(shí)，可求得.當(dāng)時(shí)，由得，所以兩式相減得，由此可證明數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列；

(2)由(1)得， 推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求得通項(xiàng)公式；

(3)由，得.設(shè)，令得，即.由得.令得，知，所以，可求出滿足的最小的正整數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，，即，，由得.

當(dāng)時(shí)，由得，所以兩式相減得，

所以.由知，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)得， 由,所以數(shù)列的公比，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.

又，所以，即.

(3)由，得.

設(shè)，

則.

令得，即.由得.

令得，知，

所以，

又因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)，，

所以滿足的最小正整數(shù)n為5.