Question

已知下列四個(gè)命題；
①函數(shù)g(x)=1+

2

2x-1

是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=log₂x滿足：對(duì)于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），f（1）=2，則f（7）=-2；
④設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的兩根，則x₁x₂=1；
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用g（-x）+g（x）=0可判斷其奇偶性；
②作出f（x）=log₂x的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷②的正誤；
③易知f（x）是以4為周期的函數(shù)，結(jié)合題意可求得f（7）=-2；
④x₁，x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的兩根⇒log_ax₁=-log_ax₂，進(jìn)一步整理可得x₁x₂=1，從而可知④的正誤．

解答： 解：①，∵g（-x）+g（x）
=（1+

2

2-x-1

）+（1+

2

2x-1

）
=2+

2•2x

1-2x

+

2

2x-1

=

2(2x-1)+2

1-2x

+

2

2x-1

+2
=-2+

2

1-2x

+

2

2x-1

+2
=0，
∴g（-x）=-g（x），即①正確；
②，作出f（x）=log₂x的圖象，

由圖知，曲線上點(diǎn)P（其橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

）的縱坐標(biāo)大于線段P₁P₂的中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，即f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，②正確；
③，∵f（x-1）=-f（x+1），令t=x-1，
則f（t+2）=-f（t），即f（t+4）=f（t），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，又f（1）=2，f（x-1）=-f（x+1），
∴f（7）=f（3）=-f（2-1）=-f（1）=-2，即③正確；
④，∵x₁，x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的兩根，
∴l(xiāng)og_ax₁=-log_ax₂=loga

1

x2

，
∴x₁=

1

x2

，即x₁x₂=1，故④正確；
綜上所述，正確的命題的序號(hào)是①②③④，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性及函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查分析與應(yīng)用能力，屬于難題．