Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2a}{x^2}$-lnx，其中a=1為大于零的常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于函數(shù)最小值的解析式，求出a的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，得，x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
故函數(shù)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
從而f（x）在（0，+∞）的極小值為f（1）=$\frac{1}{2}$，f（x）無極大值．
（2）f′（x）=$\frac{1}{a}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{ax}$（x＞0），
f（x）在[1，2]上恒成立?f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2，
∵a＞0，∴令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$；
①當(dāng)0＜$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1時，函數(shù)f（x）在[1，2]上遞增，
f（x）的最小值是f（1）=$\frac{1}{2a}$＞2，解得：0＜a＜$\frac{1}{4}$，
②當(dāng)$\sqrt{a}≥2，即a≥4時，函數(shù)f（x）在[1，2]上遞減，f（x）的最小值為f（2）=\frac{2}{a}-ln2＞2，無解$．$\sqrt{a}≥2，即a≥4時，函數(shù)f（x）在[1，2]上遞減，f（x）的最小值為f（2）=\frac{2}{a}-ln2＞2，無解$．
③當(dāng)1＜$\sqrt{a}$＜2，即1＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[1，$\sqrt{a}$]遞減，在[$\sqrt{a}$，2]遞增，
所以f（x）的最小值是f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lna＞2，無解；
綜上，所求a的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．