Question

平面上有n條拋物線，其中每兩條都只有兩個交點，并且每三條都不相交于同一點，求證：這n條拋物線把平面分成f(n)＝＋1個部分．

Answer 1

答案：
解析：

證 (1)當n＝1時，拋物線把平面分成2個部分，又f(1)＝＋1＝2，∴n＝1時命題成立．(2)假設n＝k時命題成立，即滿足條件的k條拋物線把平面分成f(k)＝＋1個部分，則當增加了滿足條件的第k＋1條拋物線時，它與原k條拋物線共有2k個交點，這些交點把第k＋1條拋物線分成2k＋1段，每一段將原來的一個平面分成兩塊，所以共增加了2k＋1個平面塊．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1＝＋1＋2k＋1＝＋1，∴n＝k＋1時命題成立．根據(jù)①，②可知，對任意n∈N命題成立．