Question

13．定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）非負實數(shù)，且滿足xf′（x）＜f（x），若m，n∈（0，+∞）且m＜n，則必有（　�。�

• A． nf（n）＜mf（m）
• B． nf（m）＜mf（n）
• C． mf（m）＜nf（n）
• D． mf（n）＜nf（m）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進行求解即可．

解答 解：∵定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）非負實數(shù)，且滿足xf′（x）＜f（x），
∴xf′（x）-f（x）＜0，
設h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則h′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵m，n∈（0，+∞）且m＜n，
∴h（n）＜h（m），
即$\frac{f（n）}{n}＜\frac{f（m）}{m}$，即nf（m）＜mf（n），
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．