Question

18．在等差數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{25}$，第10項開始比1大，記$t=\lim_{n→∞}\frac{{{a_n}+{S_n}}}{n^2}$，則t的取值范圍是（　�。�

• A． $t＞\frac{4}{75}$
• B． $\frac{8}{75}＜t≤\frac{3}{25}$
• C． $\frac{4}{75}＜t＜\frac{3}{50}$
• D． $\frac{4}{75}＜t≤\frac{3}{50}$

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式列出不等式組，求出d的范圍，求出a_n、S_n代入$\frac{{a}_{n}+{S}_{n}}{{n}^{2}}$化簡，根據(jù)極限運算求出t，再求出t的取值范圍．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
因為${a_1}=\frac{1}{25}$，第10項開始比1大，
所以$\left\{\begin{array}{l}{d＞0}\\{\frac{1}{25}+9d＞1}\\{\frac{1}{25}+8d≤1}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{75}＜d≤\frac{3}{25}$，
因為a_n=$\frac{1}{25}$+（n-1）d，S_n=$\frac{1}{25}$n+$\frac{n（n-1）}{2}×d$，
所以$\frac{{a}_{n}+{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}[\frac8dlomkg{2}{n}^{2}+（\frac{1}{25}+\fracljpxom1{2}）n+\frac{1}{25}-d]$=$\frackqr8zfk{2}+（\frac{1}{25}+\fracftbzioj{2}）\frac{1}{n}+（\frac{1}{25}-d）\frac{1}{{n}^{2}}$，
則$t=\lim_{n→∞}\frac{{{a_n}+{S_n}}}{n^2}=\fracfmcl2m4{2}$，
所以$\frac1muk65u{2}∈$（$\frac{4}{75}，\frac{3}{50}$]，
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，極限運算，以及化簡、變形能力，屬于中檔題．