Question

1．已知A（4，-3），B（2，-1）和直線l：4x+3y-2=0．
（1）求一點(diǎn)P使|PA|=|PB|，且點(diǎn)P到l的距離等于2；
（2）在直線l上找一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到A（4，-3），B（2，-1）距離之和最�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式列出方程組，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求出B（2，-1）關(guān)于直線l：4x+3y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′（a，b），點(diǎn)M到A（4，-3），B（2，-1）距離之和最小值為|AB′|．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵A（4，-3），B（2，-1），直線l：4x+3y-2=0．
|PA|=|PB|，且點(diǎn)P到l的距離等于2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-4）^{2}+（y+3）^{2}}=\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}}\\{\frac{|4x+3y-2|}{\sqrt{16+9}}=2}\end{array}\right.$，
整理，得$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-5=0}\\{4x+3y-12=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-5=0}\\{4x+3y+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=31}\\{y=-44}\end{array}\right.$．
∴P（-9，16）或P（31，-44）．
（2）∵A（4，-3），B（2，-1），直線l：4x+3y-2=0，
設(shè)B（2，-1）關(guān)于直線l：4x+3y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{4×\frac{a+2}{2}+3×\frac{b-1}{2}-2=0}\\{\frac{b+1}{a-2}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{26}{25}$，b=-$\frac{43}{25}$，
∴點(diǎn)M到A（4，-3），B（2，-1）距離之和最小值為：
|AB′|=$\sqrt{（4-\frac{26}{25}）^{2}+（-3+\frac{43}{25}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{65}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查距離之和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．