Question

14．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=\sqrt{3}t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12．
（Ⅰ）寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知與直線l平行的直線l'過點M（1，0），且與曲線C交于A，B兩點，試求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出直線l的直角坐標方程，由此能求出直線l的極坐標方程；由曲線C的極坐標方程，能求出曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）由直線l'與直線l平行，M（1，0）在直線l'上，能求出直線l'的參數(shù)方程，將它代入曲線C的方程得$5{t^2}+4t-12=0，{t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}，{t_1}{t_2}=-\frac{12}{5}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）直線l的直角坐標方程為$y=\sqrt{3}（{x-1}）+1$，
所以直線l的極坐標方程為$ρsinθ=\sqrt{3}ρcosθ-\sqrt{3}+1$
又因為曲線C的極坐標方程為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
所以曲線C的直角坐標方程為3x²+4y²=12，化簡得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）因為直線l'與直線l平行，
又M（1，0）在直線l'上，∴直線l'的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
將它代入曲線C的方程中得$5{t^2}+4t-12=0，{t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}，{t_1}{t_2}=-\frac{12}{5}$，
所以$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程、曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互化，是中檔題．