Question

16．已知命題：
①函數(shù)y=2^x（-1≤x≤1）的值域是[$\frac{1}{2}$，2]；
②為了得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x圖象上的所有點向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度；
③當n=0或n=1時，冪函數(shù)y=xⁿ的圖象都是一條直線；
④已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{-\frac{1}{2}x+2，x＞2}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（2，4）．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①③
• B． ①④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．
②根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行判斷．
③根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進行判斷．
④根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷．

解答 解：①∵y=2^x是增函數(shù)，∴當-1≤x≤1時，函數(shù)的值域是[$\frac{1}{2}$，2]；故①正確，
②函數(shù)y=sin2x圖象上的所有點向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度，則y=sin2（x-$\frac{π}{3}$）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$，則無法得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，故②錯誤，
③當n=0時，y=x⁰=1，（x≠0）是兩條射線，當n=1時，冪函數(shù)y=x的圖象都是一條直線；故③錯誤，
④作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
∴f（x）在（0，1]上遞減，在（1，2）上遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減，
又∵a，b，c互不相等，
∴a，b，c在（0，2]上有兩個，在（2，+∞）上有一個，
不妨設(shè)a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），
則log₂a+log₂b=0，
即ab=1，則abc的取值范圍是c的取值范圍，
∵由-$\frac{1}{2}$x+2=0，得x=4，
則2＜c＜4，
則2＜abc＜4，
即abc的取值范圍是（2，4）．故④正確，
故選：B．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．